Статья публикуется в значительном сокращении. Полный текст см. на сайте автора

                           Словами можно доказать и опровергнуть все, что угодно, и 
                           скоро люди усовершенствуют язык до такой степени, что 
                           будут доказывать математически верно, что дважды два - семь.
                                       А.П. Чехов, "Огни"

Недавно мне предложили прочесть небольшой курс лекций по логике для старшекурсников одного гуманитарного университета. На первой лекции я задал студентам такой вопрос:

- Скажите, отличаются ли друг от друга по смыслу два утверждения: "Все гениальное просто" и "Все простое гениально"?

Ответом мне было продолжительное молчание. Наконец кто-то робко произнес:

- Кажется, они отличаются.

Этот же вопрос я задавал не только студентам, но и тем, кто давно уже вышел из студенческого возраста (среди них были специалисты по информатике и искусственному интеллекту, некоторые из них имели профессорские звания). Однозначные ответы встречались редко. Отвечали, как правило, многословно и не по существу.

Любой выпускник старой русской гимназии, в которой логика была обязательным предметом, ответил бы на этот вопрос не задумываясь. В классической логике существенная разница между суждениями "Все A есть B" и "Все B есть A" не подлежит никакому сомнению. Самое интересное, что для англичанина или немца, даже не знающих классическую логику, этот вопрос тоже не вызвал бы особых затруднений - во многих европейских языках сама синтаксическая структура предложения не позволяет отождествлять такие "перевертыши". Для языков же славянской группы и некоторых других языков (например, арабского), в которых порядок слов в предложении менее строго регламентирован и допускается пропуск глагола-связки "есть" (оказывается, что это не просто связка, а, как мы увидим далее, насыщенное глубоким смыслом логическое понятие), подобные "перевертыши" грамматически (а порой и по смыслу) трудно различимы и поэтому при некотором навыке их можно использовать для того, чтобы "доказать" собеседнику явную нелепость. И, видимо, тот факт, что в России, как нигде, вольготно чувствуют себя демагоги и мистификаторы, обусловлен неблагоприятным стечением двух обстоятельств: 1) особенностями русского языка и 2) явным пробелом в логическом образовании населения России.

Использование "перевертышей" (или, точнее, обращенных суждений) не так безобидно, как это кажется на первый взгляд. Математикам хорошо известно, что во многих случаях "обращение" теоремы приводит к ложному утверждению. Примером такого рода является следующая теорема из школьной математики: "Если четырехугольник ромб, то его диагонали перпендикулярны" Обратное ему утверждение "Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является ромбом" оказывается истинным лишь в частных случаях. В рамках традиционной логики нетрудно построить сравнительно простые системы суждений, в которых подстановка одного из "перевертышей" приводит к неразрешимому парадоксу, в то время как подстановка в исходное рассуждение его "обращения" не вызывает никаких коллизий.

Разумеется, "перевертыши" далеко не единственный класс целенаправленных уловок или непроизвольных ошибок в рассуждении. Существует немало других логических аномалий, которые не зависят от синтаксического строя национального языка и могут распознаваться лишь при определенных навыках и знаниях по логике. В какой-то степени восполняет этот пробел в образовании математика. Но даже в ней многие элементарные приемы анализа рассуждений недостаточно четко сформулированы. К тому же в современной математике с некоторых пор появились некоторые не совсем корректные с точки зрения естественной логики приемы рассуждений, которые частично проникли и в школьное образование. А тем из учащихся, которые имеют склонность к гуманитарным знаниям и явно не в ладах с чрезмерно формализованной современной математикой, остается только надеяться на интуицию. Но с помощью интуиции далеко не всегда можно правильно оценить даже сравнительно простое рассуждение, особенно в тех случаях, когда логическая культура индивида, даже при наличии высокой образованности, находится в первобытном состоянии.

Наверное, невозможно найти человека, который никогда не допускал бы в своих рассуждениях логических ошибок. И было время, когда анализ логических ошибок в рассуждениях оппонентов играл немалую роль в науке и образовании. Но в XX столетии эта роль заметно потускнела. Логика замкнулась в себе и перестала быть понятной для многих. И можно лишь догадываться о том, кто выиграл от того, что в России логика надолго исчезла из списка общеобразовательных предметов. Но проигравших, как мне думается, намного больше.

Решением этой проблемы я занимался несколько лет. Результаты этих поисков опубликованы в различных изданиях и докладывались на международных и общероссийских конференциях. Но наиболее интересным результатом мне кажется то, что предложенный подход при определенной методической переработке оказывается вполне доступным для восприятия и понимания даже теми, кто в силу ряда обстоятельств недостаточно знаком с основными понятиями и идеями логики и математики. Опыт моего общения со студентами Санкт-Петербургского Государственного Университета Культуры и Искусств и школьниками показал, что они в течение нескольких аудиторных занятий вполне овладевают методами грамотного анализа таких рассуждений, которые трудны даже для специалистов. В одной из школ Санкт-Петербурга по этой методике начались занятия по логике среди учеников 7-го и 8-го классов. Преподавательница информатики Р.Ю. Дамм адаптировала ее к школьному курсу образования. В результате школьники через несколько уроков успешно справляются с многими сложными задачами анализа естественных рассуждений.

В чем же основные отличия данного подхода? Выделим два основных.

Отличие первое. В качестве структурной единицы формального рассуждения было выбрано СУЖДЕНИЕ, т.е. в общем случае утверждение, в котором некоторому объекту или классу объектов (СУБЪЕКТУ) присваивается некоторый набор признаков (ПРЕДИКАТОВ) или их отрицаний. Термин "суждение" и сопутствующие термины "субъект" и "предикат" взяты из классической силлогистики, но в данном подходе смысл термина "суждение" более широкий. В силлогистике Аристотеля субъекту суждения соответствует один и только один предикат или его отрицание, в то время как в предлагаемом подходе в одном суждении субъекту может быть присвоено произвольное число предикатов или их отрицаний. Например, утверждение "Все тигры млекопитающие" может быть представлено как суждение аристотелевского типа. Но в то же время суждение "Все тигры хищные млекопитающие, не живущие в воде и не приспособленные к жизни в условиях Крайнего Севера" уже не является аристотелевским, но вполне соответствует определению суждения в новом подходе.

Отличие второе. Обычно связь между субъектом и предикатами при переводе предложений естественного языка в классическое суждение осуществляется с помощью глагола-связки "есть", которая не всегда явно используется, но часто подразумевается. Дальнейший переход к математической структуре производится за счет преобразования этой связки в математическое понятие ВКЛЮЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ. При таком переходе формулировка исходного предложения существенно меняется, но существенного искажения смысла не происходит. В качестве примера возьмем два предложения: 1) "Онегин, добрый мой приятель, родился на брегах Невы" и 2) "Все металлы электропроводны". Если использовать математическую формулировку, то эти предложения преобразуются в следующие: 1) "Онегин включен в множество моих добрых приятелей и в множество людей, родившихся на брегах Невы" и 2) "Множество металлов включено в множество электропроводных веществ".

Использование понятия "включение множеств" в суждениях однозначно определяет выбор математического аппарата для моделирования и анализа суждений и их произвольных совокупностей (рассуждений). Этим математическим аппаратом является известная многим по школьному курсу информатики алгебра множеств. Но для моделирования рассуждений алгебра множеств используется не в своем обычном виде. Она существенно расширена за счет использования некоторых мало известных свойств, которые подробно изучены в математике, но пока не получили широкой известности. Однако при определенном методическом подходе их понимание и умение пользоваться ими при анализе рассуждений не требует от учащихся широкой математической подготовки, хотя некоторый минимальный объем математических знаний безусловно необходим.

На основе охарактеризованных выше предпосылок разработан метод математического моделирования рассуждений, с помощью которого удалось решить многие проблемы. Разумеется, предложенный метод не претендует на полноту охвата всех возможных логических построений и не заменяет все методы и средства математической логики. Вместе с тем, при анализе рассуждений этот метод позволяет получить все возможные следствия и проверить отсутствие (или наличие) противоречий, оценить неопределенность (неполноту) данного рассуждения, сформулировать разнообразные гипотезы, уменьшающие неопределенность, оценить различные аргументы, подтверждающие или опровергающие данное рассуждение, решить ряд сложных проблем индуктивного вывода и т.д. Многие из упомянутых задач при использовании традиционных методов решаются намного труднее или же не решаются вообще.

Возможности метода для систем с небольшим числом терминов (порядка пяти) легко реализуются вручную с помощью специально разработанных стрелочных диаграмм. Для анализа неполноты более сложных систем требуется помощь компьютера. Автором разработана программа. для быстрого и точного решения этих и многих других задач.

Резюме

Математическая логика немало способствовала бурному развитию информационных технологий в XX веке, но из поля ее зрения выпало понятие "суждение", которое появилось в логике еще во времена Аристотеля и на котором, как на фундаменте, держится логическая основа естественного языка. Такое упущение отнюдь не способствовало развитию логической культуры общества и у многих даже породило иллюзию, что компьютеры способны мыслить не хуже самого человека. Многих даже не смущает то обстоятельство, что на фоне всеобщей компьютеризации в преддверии третьего тысячелетия логические нелепости в пределах самой науки (я уж не говорю о политике, законотворческой деятельности и о псевдонауке) встречаются даже чаще, чем в конце XIX века. И для того, чтобы понять суть этих нелепостей, нет необходимости обращаться к сложным структурам, которые применяются в математической логике. Оказывается, для их понимания и анализа вполне достаточно применить намного более простую математическую структуру суждения, которая не только не противоречит основам современной логики, но в чем-то дополняет и расширяет их.

Основы этого подхода интенсивно развивались многими логиками и математиками XIX века. Для полного его завершения потребовалось лишь "чуть-чуть" математических знаний, которые появились в XX столетии. Не пора ли это незаслуженно забытое направление возродить? Может быть, это позволит нам и нашим потомкам хоть немного уменьшить все возрастающий поток логических и терминологических нелепостей, который в преддверии третьего тысячелетия захлестнул нас не только в политике и в средствах массовой информации, но и в хранителях нашего разума - в науке и образовании.

И последнее. Возможно, многим из читателей это утверждение покажется спорным, но мне представляется, что проблемы, поднятые в данной статье, имеют непосредственное отношение к нашим сугубо житейским проблемам. Можно найти немало достаточно веских причин современного кризиса в экономике, политике и в духовной жизни России. Но, если вдуматься, то окажется, что в основе каждой из этих причин лежит какая-либо деструктивная "стратегия мутной воды", на поддержку которой бросаются целые армии велеречивых демагогов и мистификаторов, основной задачей которых является "замазывание" логических и терминологических нелепостей защищаемой парадигмы. Для их деструктивной деятельности в России созданы прямо-таки тепличные условия за счет практически полного отсутствия логического образования. А чтобы оболванить безграмотных людей, требуется не так уж и много интеллектуальных усилий.

Борис Кулик